Zobrazenie bodu v rovine

Úloha: Máme os súmernosti p danú rovnicou x – y + 4 = 0 a bod M[1;1]. Zistite súradnice bodu M' zobrazeného osou súmernosti p.

Pre osovú súmernosť platí, že náš hľadaný bod M' sa bude nachádzať na priamke prechádzajúcej bodom M a kolmej na priamku p. Jeho vzdialenosť od priamky p bude |M'p| = |Mp|, pričom M ≠ M'. Zo zadania si spravíme smernicový tvar priamky (y = k × x + q): y = x + 4. Vidíme, že k = 1. Smerový vektor tejto priamky je [a;b] = [1;1], z čoho vieme získať normálový vektor priamky (vektor kolmý na našu priamku) vymenením koeficientov a a b a zmenením znamienka na jednom z nich (nezáleží, na ktorom), takže
[a;b] => [b;-a],
[1;1] => [1;-1].
Vydelením y-ovej súradnice dostaneme smernicu, čiže v tomto prípade -1 : 1 = -1.
Tento postup by sme vedeli použiť na akúkoľvek priamku, ale keďže táto priamka je veľmi jednoduchá, stačí nám zmeniť znamienko pred x, teda dostaneme priamku y = -x + 4. Kolmú priamku máme, teraz potrebujeme, aby prechádzala cez bod M[1;1]. Smernicu k, x a y už poznáme, potrebujeme zistiť koeficient q. Keďže táto priamka je rovnobežná s priamkou ktorú hľadáme, musíme ju posunúť nižšie zmenou koeficientu q. Po nahradení y = k × x + q známymi členmi (y = 1, x = 1, k = -1) dostaneme:
1 = -1 + q
q = 2.
Máme rovnicu priamky (nazvime si ju n), ktorá prechádza bodom M: y = -x + 2. Potrebujeme teraz tento bod presunúť po tejto priamke o vzdialenosť 2 × |Mp|. Označme si priesečník našich priamok p a n Z. Jeho súradnice dostaneme vypočítaním ako bod, kde sa hodnota jednej funkcie rovná hodnote druhej funkcie:
x + 4 = -x + 2
x = -1.
Hodnotu x dosadíme do jednej z rovníc (ľubovoľne, ktoré) a máme y-ovú súradnicu:
y = x + 4
y = 3
Z[-1;3]
Bod M posunieme o vektor MZ 2krát. Súradnice vektora vypočítame ako rozdiel súradníc bodu Z a bodu M:
MZ[-1-1;3-1],
MZ[-2;2].
Teraz k bodu M pripočítame 2krát tento vektor a dostaneme sa k nášmu obrazu M'.
M'[1 + 2× (-2); 1 + (2 × 2)].

M'[-3;5]